الحدود الجبرية
الحدود الجبرية هي تعبيرات رياضية تتكون من متغيرات وثوابت وعمليات جبرية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة. تُستخدم الحدود الجبرية لتمثيل العلاقات الرياضية بين المتغيرات والثوابت.
أنواع الحدود الجبرية
1. الحدود الخطية: حدود جبرية من الدرجة الأولى، مثل 2x + 3.
2. الحدود التربيعية: حدود جبرية من الدرجة الثانية، مثل x^2 + 4x + 4.
3. الحدود الكثيرة الحدود: حدود جبرية تتكون من عدة حدود، مثل 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1.
العمليات على الحدود الجبرية
1. الجمع: جمع الحدود الجبرية المتشابهة، مثل (2x + 3) + (x + 2) = 3x + 5.
2. الطرح: طرح الحدود الجبرية المتشابهة، مثل (2x + 3) - (x + 2) = x + 1.
3. الضرب: ضرب الحدود الجبرية، مثل (2x + 3)(x + 2) = 2x^2 + 7x + 6.
4. القسمة: قسمة الحدود الجبرية، مثل (2x^2 + 7x + 6) / (x + 2) = 2x + 3.
قوانين العمليات على الحدود الجبرية
1. قانون التبادل: يمكن تبديل ترتيب الحدود في الجمع والضرب، مثل a + b = b + a و ab = ba.
2. قانون التجميع: يمكن تجميع الحدود في الجمع والضرب، مثل (a + b) + c = a + (b + c) و (ab)c = a(bc).
3. قانون التوزيع: يمكن توزيع الضرب على الجمع، مثل a(b + c) = ab + ac.
تطبيقات الحدود الجبرية
1. حل المعادلات: يمكن استخدام الحدود الجبرية لحل المعادلات الرياضية.
2. تمثيل العلاقات: يمكن استخدام الحدود الجبرية لتمثيل العلاقات الرياضية بين المتغيرات والثوابت.
3. نمذجة الظواهر: يمكن استخدام الحدود الجبرية لنمذجة الظواهر الرياضية والفيزيائية.
التمارين غير المحلولة على الحدود الجبرية والعمليات عليها (جمع، طرح، ضرب، قسمة، رفع لأس)، مرتبة من الأسهل للأصعب.
---
أولًا: تبسيط حدود جبرية
1. \(\huge 5x + 8x \)
2. \(\huge 7a - 3a + 2a \)
3. \(\huge 4m^2 + 3m^2 - m^2 \)
4. \(\huge 9x^3 - 2x^3 + 5x^3 \)
5. \(\huge 6y - 3y + 4 - 7 \)
---
ثانيًا: جمع وطرح حدود جبرية
1. \(\huge (3x + 2y) + (5x - 4y) \)
2. \(\huge (7a^2 - 2a + 5) - (3a^2 + 4a - 2) \)
3. \(\huge (2m^3 + m) - (m^3 - 2m) \)
4. \(\huge (5x^2 + 2x - 1) + (4x^2 - 3x + 7) \)
5. \(\huge (x - 2)^2 + (x + 2)^2 \)
---
ثالثًا: ضرب حدود جبرية
1. \(\huge (2x)(3x) \)
2. \(\huge (4a)(-5a^2) \)
3. \(\huge (x + 2)(x - 3) \)
4. \(\huge (2m - 1)(m + 5) \)
5. \(\huge (x + 1)^2 \)
---
رابعًا: قسمة حدود جبرية
1. \(\huge \frac{6x^2}{2x} \)
2. \(\huge \frac{9a^3}{3a} \)
3. \(\Huge \frac{8m^4}{2m^2} \)
4. \(\Huge \frac{12x^3 - 6x^2}{3x} \)
5. \(\Huge \frac{x^4 + x^2}{x^2} \)
---
خامسًا: رفع الحدود لأسس
1. \(\Huge (2x)^2 \)
2. \(\Huge (3a^2)^3 \)
3. \(\Huge (x^2y)^3 \)
4. \(\Huge (2m - 1)^2 \)
5. \(\Huge (x + y)^3 \)
تمارين صعبة على الحدود الجبرية:
أولًا: تبسيط تعبيرات معقدة
1. \( (2x^2 - 3x + 4) + (5x^2 - 7x - 8) - (3x^2 + 2x - 6) \)
2. \( (x - 2)(x + 3) - (x + 1)(x - 4) \)
3. \( (3a - 2)^2 - (2a + 1)^2 \)
4. \( (2x - 5)(x^2 + 3x - 2) \)
5. \( (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2 \)
---
ثانيًا: قسمة مع حدود متعددة
1. \( \frac{6x^3 + 9x^2 - 15x}{3x} \)
2. \( \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4} \)
3. \( \frac{2x^3 + 3x^2 - 2x - 3}{x + 1} \) (قسمة كثيرة حدود)
4. \( \frac{9a^4 - a^2}{3a^2} \)
5. \( \frac{4x^3 - 8x^2 + 12x}{2x} \)
---
ثالثًا: رفع تعبيرات مركبة لأسس
1. \( (x - 3)^3 \)
2. \( (2x + 1)^3 \)
3. \( (x^2 - 2x + 1)^2 \)
4. \( (3a^2 - 2a + 5)^2 \)
5. \( (x + 2y)^3 \)
---
رابعًا: مسائل على فرق بين مربعين ومجموع مكعبين
1. فك و تبسيط: \( (x + 3)^3 - (x - 2)^3 \)
2. فك و تبسيط: \( (2x)^2 - (3y)^2 \)
3. فك و تبسيط: \( (a - b)^2 - (a + b)^2 \)
4. فك و تبسيط: \( (x^2 + 2)^3 - (x^2 - 2)^3 \)
5. فك و تبسيط: \( (3x)^2 - (2x + 5)^2 \)
---
ملاحظة مهمة:
- هذه المسائل فيها مستويات عليا من التوزيع والتجميع والتبسيط.
- يفضل استخدام القواعد:
- فرق بين مربعين: \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)
- مجموع مكعبين: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \)
- فرق مكعبين: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \)
---
امتحان على الحدود الجبرية والعمليات عليها
الزمن الكلي: 30 دقيقة
---
القسم الأول: تبسيط (5 دقائق)
س1: (أجب خلال دقيقة ونصف)
بسط التعبير:
\[
7x + 4x - 3x + 8
\]
س2: (أجب خلال دقيقة ونصف)
بسط التعبير:
\[
5a^2 - 3a + 7a^2 + 2a
\]
س3: (أجب خلال دقيقتين)
بسط التعبير:
\[
(3m - 2)(m + 5)
\]
---
القسم الثاني: جمع وطرح (10 دقائق)
س4: (أجب خلال 3 دقائق)
بسط:
\[(2x^2 - 3x + 5) + (4x^2 + x - 7)\]
س5: (أجب خلال 3 دقائق)
بسط:
\[(5a - 2)^2 - (3a + 1)^2\]
س6: (أجب خلال 4 دقائق)
بسط:
\[(x^2 + 4x ) - (x^2 - 2x )\]
---
القسم الثالث: ضرب وقسمة (10 دقائق)
س7: (أجب خلال 4 دقائق)
بسط:
\[(2x - 5)(x^2 + 3x - 2)\]
س8: (أجب خلال 3 دقائق)
بسط:
\(\frac{6x^3 + 9x^2 - 15x}{3x}\)
س9: (أجب خلال 3 دقائق)
بسط:
\(\frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}\)
---
القسم الرابع: رفع لأسس (5 دقائق)
س10: (أجب خلال 5 دقائق)
بسط:
\[(2x + 3)^3\]
