الذكاء الإصطناعى والرياضيات

الرياضيات وراء الذكاء الاصطناعي وتعلم الآلة

الذكاء الاصطناعي يبدو وكأنه سحر، لكنه في الحقيقة يعتمد على أسس رياضية متينة. دعنا نستكشف كيف تساهم الرياضيات في جعل الآلات "تتعلم".

---

1. فهم البيانات: الجبر الخطي

قبل أن تتمكن الآلة من "تعلم" أي شيء، يجب أن تفهم البيانات. البيانات بالنسبة للذكاء الاصطناعي هي مجرد أرقام، وهذه الأرقام غالبًا ما يتم تنظيمها في شكل **متجهات (Vectors)** و**مصفوفات (Matrices)**.

المتجهات والمصفوفات

المتجه: عبارة عن قائمة من الأرقام. يمكن أن يمثل سمات معينة. على سبيل المثال، يمكن لمتجه أن يمثل أبعاد منزل:

\(\X\)= [غرف, حمامات, مساحة].

$$X = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 150 \end{bmatrix}$$

المصفوفة: مجموعة من المتجهات مرتبة في صفوف وأعمدة. يمكن أن تمثل مجموعة من المنازل وبياناتها.

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 150 \\ 4 & 3 & 200 \\ 2 & 1 & 100 \end{bmatrix}$$

الجبر الخطي يوفر الأدوات اللازمة للتعامل مع هذه البيانات، مثل ضرب المصفوفات، والتي تستخدم في عمليات مثل تحويل الصور أو تمرير البيانات عبر الشبكات العصبية.

---

2. التعلم والتنبؤ: حساب التفاضل والتكامل

كيف تتعلم الآلة؟ تتعلم عن طريق **تقليل الأخطاء**. فكر في نموذج ذكاء اصطناعي يحاول التنبؤ بأسعار المنازل. في البداية، سيخطئ كثيرًا. مهمة الذكاء الاصطناعي هي تعديل "معرفته" باستمرار لتقليل هذه الأخطاء.

الانحدار التدريجي (Gradient Descent)

هذه هي الخوارزمية الأساسية التي تستخدمها نماذج التعلم الآلي لتعديل معاييرها (مثل الأوزان والتحيزات) لتقليل دالة الخطأ (Loss Function). دالة الخطأ تقيس مدى سوء أداء النموذج.

يستخدم الانحدار التدريجي مفهوم **المشتقة (Derivative)** من حساب التفاضل والتكامل. المشتقة تخبرنا عن "ميل" الدالة، أي الاتجاه الذي يجب أن نتحرك فيه لتقليل الخطأ.

لنفترض أن لدينا دالة خطأ بسيطة مثل $J(w) = w^2$. نريد إيجاد قيمة $w$ التي تقلل $J(w)$.

المشتقة الأولى: $\frac{dJ}{dw} = 2w$

إذا كانت المشتقة موجبة، يجب أن نقلل $w$. إذا كانت سالبة، يجب أن نزيد $w$. وبهذه الطريقة، "نتدحرج" إلى أسفل منحنى الخطأ حتى نصل إلى أدنى نقطة.

$$w_{جديد} = w_{قديم} - \alpha \cdot \frac{dJ}{dw}$$

حيث $\alpha$ (ألفا) هي "معدل التعلم" (Learning Rate)، وهي خطوة صغيرة نتحركها في كل مرة.

---

3. اتخاذ القرارات والشك: الإحصاء والاحتمالات

الذكاء الاصطناعي لا يتنبأ فقط، بل يتخذ قرارات، وغالبًا ما يكون هناك شك. الإحصاء والاحتمالات يساعدان الذكاء الاصطناعي على التعامل مع هذا الشك وفهم توزيع البيانات.

الاحتمالات والتوزيعات

عندما يتنبأ نموذج الذكاء الاصطناعي بشيء، فإنه غالبًا ما يعطي احتمالات. على سبيل المثال، قد يقول النموذج: "هذه الصورة تحتوي على قط بنسبة 95%، وكلب بنسبة 4%، وطائر بنسبة 1%."

تستخدم الاحتمالات لتحديد مدى ثقة النموذج في تنبؤاته. كما تُستخدم التوزيعات الإحصائية (مثل التوزيع الطبيعي) لفهم البيانات وتحديد القيم الشاذة.

دالة الكثافة الاحتمالية (Probability Density Function) للتوزيع الطبيعي هي:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

حيث $\mu$ هو المتوسط (Mean) و $\sigma$ هو الانحراف المعياري (Standard Deviation).

---

الخلاصة

الذكاء الاصطناعي ليس سحرًا، بل هو تطبيق قوي للمفاهيم الرياضية التي نتعلمها. الجبر الخطي يساعده على فهم البيانات، وحساب التفاضل والتكامل يمكّنه من التعلم وتقليل الأخطاء، بينما الإحصاء والاحتمالات يساعدانه على التعامل مع عدم اليقين واتخاذ قرارات مستنيرة.

تعلم الرياضيات يمنحك القوة لفهم، وحتى بناء، أنظمة الذكاء الاصطناعي الرائعة!

لمزيد من التعمق، يمكنك استكشاف أساسيات الرياضيات لتعلم الآلة على Coursera أو سلسلة الشبكات العصبية من 3Blue1Brown (باللغة الإنجليزية).