حاسبة التكامل

أدخل دالة بسيطة أدناه لحساب تكاملها.

الدالة:

لافتة نصية

بيانات الطلاب

اسم الطالب	المادة	الدرجة	الحالة
أحمد سعيد	الرياضيات	85	ناجح
فاطمة علي	العلوم	92	ناجح
محمد خالد	التاريخ	60	راسب
ليلى ناصر	اللغة العربية	78	ناجح
هذا جدول توضيحي لبيانات الطلاب.

دمج ملفات

دمج ملفات PDF

اختر ملفات PDF التي ترغب في دمجها. يمكنك اختيار عدة ملفات.

اختر ملفات PDF:

تنزيل الملف المدمج

الذكاء الإصطناعى والرياضيات

الرياضيات وراء الذكاء الاصطناعي وتعلم الآلة

الذكاء الاصطناعي يبدو وكأنه سحر، لكنه في الحقيقة يعتمد على أسس رياضية متينة. دعنا نستكشف كيف تساهم الرياضيات في جعل الآلات "تتعلم".

---

1. فهم البيانات: الجبر الخطي

قبل أن تتمكن الآلة من "تعلم" أي شيء، يجب أن تفهم البيانات. البيانات بالنسبة للذكاء الاصطناعي هي مجرد أرقام، وهذه الأرقام غالبًا ما يتم تنظيمها في شكل **متجهات (Vectors)** و**مصفوفات (Matrices)**.

المتجهات والمصفوفات

المتجه: عبارة عن قائمة من الأرقام. يمكن أن يمثل سمات معينة. على سبيل المثال، يمكن لمتجه أن يمثل أبعاد منزل:

\(\X\)= [غرف, حمامات, مساحة].

$$X = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 150 \end{bmatrix}$$

المصفوفة: مجموعة من المتجهات مرتبة في صفوف وأعمدة. يمكن أن تمثل مجموعة من المنازل وبياناتها.

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 150 \\ 4 & 3 & 200 \\ 2 & 1 & 100 \end{bmatrix}$$

الجبر الخطي يوفر الأدوات اللازمة للتعامل مع هذه البيانات، مثل ضرب المصفوفات، والتي تستخدم في عمليات مثل تحويل الصور أو تمرير البيانات عبر الشبكات العصبية.

---

2. التعلم والتنبؤ: حساب التفاضل والتكامل

كيف تتعلم الآلة؟ تتعلم عن طريق **تقليل الأخطاء**. فكر في نموذج ذكاء اصطناعي يحاول التنبؤ بأسعار المنازل. في البداية، سيخطئ كثيرًا. مهمة الذكاء الاصطناعي هي تعديل "معرفته" باستمرار لتقليل هذه الأخطاء.

الانحدار التدريجي (Gradient Descent)

هذه هي الخوارزمية الأساسية التي تستخدمها نماذج التعلم الآلي لتعديل معاييرها (مثل الأوزان والتحيزات) لتقليل دالة الخطأ (Loss Function). دالة الخطأ تقيس مدى سوء أداء النموذج.

يستخدم الانحدار التدريجي مفهوم **المشتقة (Derivative)** من حساب التفاضل والتكامل. المشتقة تخبرنا عن "ميل" الدالة، أي الاتجاه الذي يجب أن نتحرك فيه لتقليل الخطأ.

لنفترض أن لدينا دالة خطأ بسيطة مثل $J(w) = w^2$. نريد إيجاد قيمة $w$ التي تقلل $J(w)$.

المشتقة الأولى: $\frac{dJ}{dw} = 2w$

إذا كانت المشتقة موجبة، يجب أن نقلل $w$. إذا كانت سالبة، يجب أن نزيد $w$. وبهذه الطريقة، "نتدحرج" إلى أسفل منحنى الخطأ حتى نصل إلى أدنى نقطة.

$$w_{جديد} = w_{قديم} - \alpha \cdot \frac{dJ}{dw}$$

حيث $\alpha$ (ألفا) هي "معدل التعلم" (Learning Rate)، وهي خطوة صغيرة نتحركها في كل مرة.

---

3. اتخاذ القرارات والشك: الإحصاء والاحتمالات

الذكاء الاصطناعي لا يتنبأ فقط، بل يتخذ قرارات، وغالبًا ما يكون هناك شك. الإحصاء والاحتمالات يساعدان الذكاء الاصطناعي على التعامل مع هذا الشك وفهم توزيع البيانات.

الاحتمالات والتوزيعات

عندما يتنبأ نموذج الذكاء الاصطناعي بشيء، فإنه غالبًا ما يعطي احتمالات. على سبيل المثال، قد يقول النموذج: "هذه الصورة تحتوي على قط بنسبة 95%، وكلب بنسبة 4%، وطائر بنسبة 1%."

تستخدم الاحتمالات لتحديد مدى ثقة النموذج في تنبؤاته. كما تُستخدم التوزيعات الإحصائية (مثل التوزيع الطبيعي) لفهم البيانات وتحديد القيم الشاذة.

دالة الكثافة الاحتمالية (Probability Density Function) للتوزيع الطبيعي هي:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

حيث $\mu$ هو المتوسط (Mean) و $\sigma$ هو الانحراف المعياري (Standard Deviation).

---

الخلاصة

الذكاء الاصطناعي ليس سحرًا، بل هو تطبيق قوي للمفاهيم الرياضية التي نتعلمها. الجبر الخطي يساعده على فهم البيانات، وحساب التفاضل والتكامل يمكّنه من التعلم وتقليل الأخطاء، بينما الإحصاء والاحتمالات يساعدانه على التعامل مع عدم اليقين واتخاذ قرارات مستنيرة.

تعلم الرياضيات يمنحك القوة لفهم، وحتى بناء، أنظمة الذكاء الاصطناعي الرائعة!

لمزيد من التعمق، يمكنك استكشاف أساسيات الرياضيات لتعلم الآلة على Coursera أو سلسلة الشبكات العصبية من 3Blue1Brown (باللغة الإنجليزية).

درس الرياضيات

درس الرياضيات: الجبر الأساسي

في هذا الدرس، سنتعلم أساسيات الجبر وكيفية حل المعادلات الخطية.

---

المقدمة: ما هو الجبر؟

الجبر هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع الرموز والمتغيرات والقواعد التي تحكم العمليات الرياضية. يساعدنا الجبر على حل المشكلات التي تتضمن كميات غير معروفة.

بدلاً من الأرقام فقط، نستخدم في الجبر حروفًا مثل $x$ أو $y$ لتمثيل قيم مجهولة.

---

المتغيرات والثوابت

المتغيرات (Variables)

المتغير هو رمز (عادة حرف) يمثل قيمة يمكن أن تتغير. على سبيل المثال، في المعادلة \(\huge x + 5 = 10\)، الرمز \(\huge x \) هو متغير.

الثوابت (Constants)

الثابت هو قيمة لا تتغير. في نفس المعادلة \(\huge x + 5 = 10\)، الرقمان 5 و 10 هما ثوابت.

---

المعادلات الخطية

المعادلة الخطية هي معادلة يمكن كتابتها على شكل \(\huge Ax + B = C\) حيث $A, B, C$ هي ثوابت و $A \neq 0$.

مثال 1: حل المعادلة $x + 3 = 7$

لحل هذه المعادلة، نريد عزل المتغير $x$ على طرف واحد من المعادلة.

1. اطرح $3$ من كلا طرفي المعادلة:
$$x + 3 - 3 = 7 - 3$$
2. بسط المعادلة:
$$x = 4$$

إذن، قيمة $x$ هي $4$.

مثال 2: حل المعادلة $2y - 5 = 11$

دعنا نتبع الخطوات لعزل $y$:

1. أضف $5$ إلى كلا طرفي المعادلة:
$$2y - 5 + 5 = 11 + 5$$
$$2y = 16$$
2. اقسم كلا طرفي المعادلة على $2$:
$$\frac{2y}{2} = \frac{16}{2}$$
$$y = 8$$

إذن، قيمة $y$ هي $8$.

مثال 3:حل المعادلة\(\huge\sqrt{x} +3=4 \)

---

تمارين للتدريب

حاول حل المعادلات التالية بنفسك:

• $a + 10 = 15$
• $3b - 7 = 20$
• $\frac{z}{4} + 2 = 5$

---

الخلاصة

في هذا الدرس، تعلمنا أساسيات الجبر، بما في ذلك تعريف المتغيرات والثوابت، وكيفية حل المعادلات الخطية البسيطة. تذكر دائمًا أن الهدف هو عزل المتغير.

لمزيد من الموارد، يمكنك زيارة أكاديمية خان (قسم الجبر).

الحدود الجبرية والعمليات عليها

الحدود الجبرية

الحدود الجبرية هي تعبيرات رياضية تتكون من متغيرات وثوابت وعمليات جبرية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة. تُستخدم الحدود الجبرية لتمثيل العلاقات الرياضية بين المتغيرات والثوابت.

أنواع الحدود الجبرية

1. الحدود الخطية: حدود جبرية من الدرجة الأولى، مثل 2x + 3.

2. الحدود التربيعية: حدود جبرية من الدرجة الثانية، مثل x^2 + 4x + 4.

3. الحدود الكثيرة الحدود: حدود جبرية تتكون من عدة حدود، مثل 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1.

العمليات على الحدود الجبرية

1. الجمع: جمع الحدود الجبرية المتشابهة، مثل (2x + 3) + (x + 2) = 3x + 5.

2. الطرح: طرح الحدود الجبرية المتشابهة، مثل (2x + 3) - (x + 2) = x + 1.

3. الضرب: ضرب الحدود الجبرية، مثل (2x + 3)(x + 2) = 2x^2 + 7x + 6.

4. القسمة: قسمة الحدود الجبرية، مثل (2x^2 + 7x + 6) / (x + 2) = 2x + 3.

قوانين العمليات على الحدود الجبرية

1. قانون التبادل: يمكن تبديل ترتيب الحدود في الجمع والضرب، مثل a + b = b + a و ab = ba.

2. قانون التجميع: يمكن تجميع الحدود في الجمع والضرب، مثل (a + b) + c = a + (b + c) و (ab)c = a(bc).

3. قانون التوزيع: يمكن توزيع الضرب على الجمع، مثل a(b + c) = ab + ac.

تطبيقات الحدود الجبرية

1. حل المعادلات: يمكن استخدام الحدود الجبرية لحل المعادلات الرياضية.

2. تمثيل العلاقات: يمكن استخدام الحدود الجبرية لتمثيل العلاقات الرياضية بين المتغيرات والثوابت.

3. نمذجة الظواهر: يمكن استخدام الحدود الجبرية لنمذجة الظواهر الرياضية والفيزيائية.

 التمارين غير المحلولة على الحدود الجبرية والعمليات عليها (جمع، طرح، ضرب، قسمة، رفع لأس)، مرتبة من الأسهل للأصعب.

---

 أولًا: تبسيط حدود جبرية

1. \(\huge 5x + 8x \)

2. \(\huge 7a - 3a + 2a \)

3. \(\huge 4m^2 + 3m^2 - m^2 \)

4. \(\huge 9x^3 - 2x^3 + 5x^3 \)

5. \(\huge 6y - 3y + 4 - 7 \)

---

 ثانيًا: جمع وطرح حدود جبرية

1. \(\huge (3x + 2y) + (5x - 4y) \)

2. \(\huge (7a^2 - 2a + 5) - (3a^2 + 4a - 2) \)

3. \(\huge (2m^3 + m) - (m^3 - 2m) \)

4. \(\huge (5x^2 + 2x - 1) + (4x^2 - 3x + 7) \)

5. \(\huge (x - 2)^2 + (x + 2)^2 \)

---

 ثالثًا: ضرب حدود جبرية

1. \(\huge (2x)(3x) \)

2. \(\huge (4a)(-5a^2) \)

3. \(\huge (x + 2)(x - 3) \)

4. \(\huge (2m - 1)(m + 5) \)

5. \(\huge (x + 1)^2 \)

---

 رابعًا: قسمة حدود جبرية

1. \(\huge \frac{6x^2}{2x} \)

2. \(\huge \frac{9a^3}{3a} \)

3. \(\Huge \frac{8m^4}{2m^2} \)

4. \(\Huge \frac{12x^3 - 6x^2}{3x} \)

5. \(\Huge \frac{x^4 + x^2}{x^2} \)

---

 خامسًا: رفع الحدود لأسس

1. \(\Huge (2x)^2 \)

2. \(\Huge (3a^2)^3 \)

3. \(\Huge (x^2y)^3 \)

4. \(\Huge (2m - 1)^2 \)

5. \(\Huge (x + y)^3 \)

 تمارين صعبة على الحدود الجبرية:

 أولًا: تبسيط تعبيرات معقدة

1. \( (2x^2 - 3x + 4) + (5x^2 - 7x - 8) - (3x^2 + 2x - 6) \)

2. \( (x - 2)(x + 3) - (x + 1)(x - 4) \)

3. \( (3a - 2)^2 - (2a + 1)^2 \)

4. \( (2x - 5)(x^2 + 3x - 2) \)

5. \( (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2 \)

---

 ثانيًا: قسمة مع حدود متعددة

1. \( \frac{6x^3 + 9x^2 - 15x}{3x} \)

2. \( \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4} \)

3. \( \frac{2x^3 + 3x^2 - 2x - 3}{x + 1} \) (قسمة كثيرة حدود)

4. \( \frac{9a^4 - a^2}{3a^2} \)

5. \( \frac{4x^3 - 8x^2 + 12x}{2x} \)

---

 ثالثًا: رفع تعبيرات مركبة لأسس

1. \( (x - 3)^3 \)

2. \( (2x + 1)^3 \)

3. \( (x^2 - 2x + 1)^2 \)

4. \( (3a^2 - 2a + 5)^2 \)

5. \( (x + 2y)^3 \)

---

 رابعًا: مسائل على فرق بين مربعين ومجموع مكعبين

1. فك و تبسيط: \( (x + 3)^3 - (x - 2)^3 \)

2. فك و تبسيط: \( (2x)^2 - (3y)^2 \)

3. فك و تبسيط: \( (a - b)^2 - (a + b)^2 \)

4. فك و تبسيط: \( (x^2 + 2)^3 - (x^2 - 2)^3 \)

5. فك و تبسيط: \( (3x)^2 - (2x + 5)^2 \)

---

 ملاحظة مهمة:

- هذه المسائل فيها مستويات عليا من التوزيع والتجميع والتبسيط.

- يفضل استخدام القواعد:  

  - فرق بين مربعين: \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)  

  - مجموع مكعبين: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \)  

  - فرق مكعبين: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \)

---

امتحان على الحدود الجبرية والعمليات عليها

 الزمن الكلي: 30 دقيقة

---

 القسم الأول: تبسيط (5 دقائق)

س1: (أجب خلال دقيقة ونصف)  

بسط التعبير:  

\[

7x + 4x - 3x + 8

\]

س2: (أجب خلال دقيقة ونصف)  

بسط التعبير:  

\[

5a^2 - 3a + 7a^2 + 2a

\]

س3: (أجب خلال دقيقتين)  

بسط التعبير:  

\[

(3m - 2)(m + 5)

\]

---

 القسم الثاني: جمع وطرح (10 دقائق)

س4: (أجب خلال 3 دقائق)  

بسط:  

\[(2x^2 - 3x + 5) + (4x^2 + x - 7)\]

س5: (أجب خلال 3 دقائق)  

بسط:  

\[(5a - 2)^2 - (3a + 1)^2\]

س6: (أجب خلال 4 دقائق)  

بسط:  

\[(x^2 + 4x ) - (x^2 - 2x )\]

---

 القسم الثالث: ضرب وقسمة (10 دقائق)

س7: (أجب خلال 4 دقائق)  

بسط:  

\[(2x - 5)(x^2 + 3x - 2)\]

س8: (أجب خلال 3 دقائق)  

بسط:  

\(\frac{6x^3 + 9x^2 - 15x}{3x}\)

س9: (أجب خلال 3 دقائق)  

بسط:  

\(\frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}\)

---

 القسم الرابع: رفع لأسس (5 دقائق)

س10: (أجب خلال 5 دقائق)  

بسط:  

\[(2x + 3)^3\]

\[ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \]

حل المتباينات

أولًا: ما هي التباينات؟

- التباين هو جملة رياضية تشبه المعادلة، لكنها تستخدم رموز:

  - **>** أكبر من

  - **<** أصغر من

  - **≥** أكبر من أو يساوي

  - **≤** أصغر من أو يساوي

بدل علامة (=).

مثال:

- \( x + 3 > 5 \) هذا تباين.

---

### ثانيًا: كيف نحل التباينات؟

تحل التباينات بنفس طريقة حل المعادلات تقريبًا مع فرق بسيط:

- **إذا ضربت أو قسمت على عدد سالب، تعكس إشارة التباين.**

### خطوات الحل:

1. **اعزل المتغير** (زي كأنك تحل معادلة).

2. **انتبه للإشارة**: إذا ضربت أو قسمت على عدد سالب، **اقلب إشارة التباين**.

---

### أمثلة:

#### مثال ١: حل التباين

\( x + 3 > 5 \)

**الحل**:

- اطرح 3 من الطرفين:  

  \( x > 2

 مثال ٢: حل التباين مع عدد سالب

\( -2x \leq 6 \)

**الحل**:

- اقسم الطرفين على -2 **(عدد سالب)**:

- عندما نقسم على عدد سالب، **نقلب إشارة التباين**:

  \( x \geq -3 \)

---

### ثالثًا: طريقة تمثيل الحل:

- نرسم خط الأعداد.

- نضع دائرة على العدد:

  - **مفتوحة** إذا كان > أو <

  - **مغلقة** إذا كان ≥ أو ≤

- نظلل الجهة حسب التباين.

---

### خلاصة:

| العملية | القاعدة |

|:---------|:--------|

| جمع أو طرح عدد | لا يتغير التباين |

| ضرب أو قسمة بعدد موجب | لا يتغير التباين |

| ضرب أو قسمة بعدد سالب | **نقلب التباين** |

ممتاز كابتن! نكمل الشرح بالتوسع شوية:

---

### رابعًا: التباينات التي فيها كسور

لو التباين فيه كسر، نتخلص من الكسر أولًا.

#### مثال ٣: حل التباين

\[

\frac{x}{3} > 2

\]

**الحل**:

- اضرب الطرفين في 3 عشان تتخلص من الكسر:

\[

x > 6

\]

---

#### مثال ٤: كسر مع عدد سالب

\[

\frac{-x}{4} \leq 5

\]

**الحل**:

- اضرب الطرفين في 4:

\[

-x \leq 20

\]

- اضرب الآن في -1 (أو اقسم على -1) ولا تنسى **تعكس الإشارة**:

\[

x \geq -20

\]

---

### خامسًا: التباين المركب

تباين مركب يعني أن عندك متباينتين مربوطتين مع بعض، مثل:

- باستخدام **و** (AND)

- أو باستخدام **أو** (OR)

#### مثال ٥: تباين مركب مع "و"

\[

2 < x + 3 \leq 7

\]

**الحل**:

- نحل التباينين معًا.

أول جزء:

\[

2 < x + 3

\]

اطرح 3:

\[

-1 < x

\]

وثاني جزء:

\[

x + 3 \leq 7

\]

اطرح 3:

\[

x \leq 4

\]

**النتيجة النهائية**:

\[

-1 < x \leq 4

\]

يعني \( x \) بين -1 و 4.

---

#### ملاحظة عن الفرق بين "و" و "أو":

| "و" (AND) | "أو" (OR) |

|:---------|:---------|

| لازم المتغير يحقق الشرطين معًا | يكفي أن يحقق شرط واحد فقط |

---

### سادسًا: تمثيل التباين المركب على خط الأعداد

- إذا كان "و" (AND)، نظلل الجزء المشترك.

- إذا كان "أو" (OR)، نظلل كل الحلول التي تحقق أي شرط.

---

### أمثلة للتدريب السريع:

1. حل التباين:  

\[

2x - 5 > 9

\]

2. حل التباين:  

\[

-3x \leq 12

\]

3. حل التباين المركب:  

\[

-2 \leq 3x + 1 < 10

\]

---

1. **مجموعة تمارين كثيرة غير محلولة** للتدريب.  

2. **امتحان كامل** على درس المتباينات.

---

# أولاً: تمارين كثيرة غير محلولة

## تمارين حل التباينات البسيطة:

1. \( x + 5 > 12 \)

2. \( 3x - 7 \leq 2 \)

3. \( \frac{x}{4} > 3 \)

4. \( -2x \geq 8 \)

5. \( 5 - x < 10 \)

6. \( 7x + 2 \geq 23 \)

7. \( \frac{2x-3}{5} \leq 4 \)

8. \( \frac{-3x}{2} < 9 \)

9. \( x - \frac{5}{2} > 1 \)

10. \( -\frac{x}{6} \geq -2 \)

---

## تمارين على **التباينات المركبة**:

11. \( 1 < x + 2 \leq 5 \)

12. \( -4 \leq 2x - 6 < 2 \)

13. \( 0 \leq \frac{x}{3} + 1 < 4 \)

14. \( -5 < \frac{-x}{2} \leq 3 \)

15. \( 2x + 1 > 5 \) أو \( x - 3 < -2 \)

---

## تمارين تحدي (مستوى أعلى):

16. حل وامثل على خط الأعداد:  

   \( \frac{2x+1}{3} > \frac{x-2}{4} \)

17. حل وامثل:  

   \( 3(x-1) \leq 2(x+4) \)

18. حل وامثل:  

   \( \frac{5-x}{2} \geq \frac{x+3}{4} \)

19. حل وامثل:  

   \( -2(3x-5) < 4(x+2) \)

20. حل وامثل:  

   \( \frac{2x}{5} - \frac{x}{2} \leq 1 \)

---

# ثانياً: إمتحان على المتباينات

## التعليمات:

- وقت الامتحان: **30 دقيقة**.

- الأسئلة بدون حل، مطلوب منك الحل في كراسة أو ورقة.

---

## الامتحان:

### السؤال الأول: حل التباينات التالية

أ) \( x - 7 > -2 \)

ب) \( 4x + 3 \leq 19 \)

ج) \( \frac{x+2}{5} \geq 1 \)

د) \( -\frac{3}{2}x < 9 \)

---

### السؤال الثاني: حل التباين المركب

أ) \( 1 \leq 2x - 3 < 7 \)

ب) \( -5 < \frac{x-1}{2} \leq 2 \)

---

### السؤال الثالث: اختر الإجابة الصحيحة

1. إذا كان الحل هو \( x > 2 \)، فأي عدد يعتبر حلًا؟

   - أ) 1

   - ب) 2

   - ج) 3

   - د) 0

2. عند قسمة طرفي التباين على عدد **سالب**، فإننا:

   - أ) نحافظ على نفس الإشارة.

   - ب) نقلب الإشارة.

   - ج) نضيف 1 للطرفين.

   - د) لا يحدث تغيير.

---

### السؤال الرابع: مسألة تطبيقية

- سعر القميص 50 ريال. إذا كان مع أحمد مبلغ أكثر من 200 ريال، كم قميصًا يمكنه شراءه على الأقل؟

الجذور التربيعية والجذورالتكعيبية

مكتبة الرموز

pip install sympy

أولاً: الجذر التربيعي (√)

تعريف:

الجذر التربيعي لعدد هو العدد الذي إذا ضرب في نفسه يعطي هذا العدد.

مثال:

- √9 = 3، لأن 3 × 3 = 9

- √25 = 5، لأن 5 × 5 = 25

ملاحظات مهمة:

- الجذر التربيعي لعدد **موجب** له **جذرين**: موجب وسالب  

  مثلًا: √36 = ±6 لأن 6² = 36 وأيضًا (-6)² = 36

- الجذر التربيعي لعدد **سالب** غير معرف في الأعداد الحقيقية.

أمثلة:

- √64 = ±8

- √1 = ±1

- √0 = 0

---

ثانياً: الجذر التكعيبي (∛)

تعريف:

الجذر التكعيبي لعدد هو **العدد الذي إذا ضرب في نفسه ثلاث مرات يعطي هذا العدد**.

**مثال:**

- ∛8 = 2، لأن 2 × 2 × 2 = 8

- ∛-27 = -3، لأن -3 × -3 × -3 = -27

ملاحظات مهمة:

- الجذر التكعيبي لأي عدد **موجب أو سالب** معرف.

- الجذر التكعيبي لعدد سالب يعطي **عددًا سالبًا**.

أمثلة:

- ∛1 = 1

- ∛-64 = -4

- ∛0 = 0

---

مقارنة سريعة بين الجذر التربيعي والجذر التكعيبي:

|               | الجذر التربيعي √ | الجذر التكعيبي ∛ |

|---------------|------------------|------------------|

| عدد الجذور    | 2 (موجب وسالب)    | 1 فقط            |

| يُعرف للسالب؟ | لا               | نعم              |

| مثال          | √16 = ±4         | ∛27 = 3          |

---

تدريبات سريعة:

1. احسب: √49 = ؟  

2. احسب: ∛-125 = ؟  

3. ما العدد الذي إذا رُبع يعطي 81؟  

4. ما العدد الذي إذا كُعب يعطي -8؟  

5. هل الجذر التربيعي لـ -9 معرف؟

جميل يا كابتن! نكمّل على نفس الأساس:

---

### **حل التدريبات السابقة:**

1. **√49 = ±7**  

   لأن 7 × 7 = 49 وأيضًا -7 × -7 = 49

2. **∛-125 = -5**  

   لأن -5 × -5 × -5 = -125

3. العدد الذي إذا رُبع يعطي 81 هو: **±9**  

   لأن 9² = 81 وأيضًا (-9)² = 81

4. العدد الذي إذا كُعب يعطي -8 هو: **-2**  

   لأن -2 × -2 × -2 = -8

5. **الجذر التربيعي لـ -9 غير معرف في الأعداد الحقيقية**، لكنه يُعرف في الأعداد التخيلية (i)، ويُكتب:  

   √-9 = 3i

---

### **الآن: تمثيل الجذور على خط الأعداد (بشكل تقريبي)**

بعض الجذور ليست أعدادًا صحيحة، مثل:

- √2 ≈ 1.41  

- √3 ≈ 1.73  

- √5 ≈ 2.24  

- ∛2 ≈ 1.26  

- ∛10 ≈ 2.15

```python

import math

# الجذر التربيعي

print("الجذر التربيعي لـ 16:", math.sqrt(16))

# الجذر التكعيبي

def cube_root(x):

    return x ** (1/3) if x >= 0 else -(-x) ** (1/3)

print("الجذر التكعيبي لـ -27:", cube_root(-27))

```

---

تدريبات إضافية لك يا كابتن:

1. احسب: √121 = ؟  

2. احسب: ∛64 = ؟  

3. هل ∛-100 معرف؟  

4. ما العدد الذي إذا ضربته في نفسه يعطي 144؟  

 تمارين غير المحلولة على الجذر التربيعي والجذر التكعيبي، متنوعة في المستوى:

أولًا: الجذر التربيعي (√)

√36 = ؟

√100 = ؟

√4 = ؟

√225 = ؟

√169 = ؟

√0 = ؟

√81 = ؟

√49 = ؟

√144 = ؟

√1 = ؟

√121 = ؟

√196 = ؟

√16 = ؟

√9 = ؟

√64 = ؟

ثانيًا: الجذر التكعيبي (∛)

∛8 = ؟

∛27 = ؟

∛64 = ؟

∛125 = ؟

∛-8 = ؟

∛-27 = ؟

∛-64 = ؟

∛0 = ؟

∛1 = ؟

∛-125 = ؟

∛216 = ؟

∛-1 = ؟

∛343 = ؟

∛-1000 = ؟

∛512 = ؟

تمارين مدمجة ومتقدمة:

ما العدد الذي مربعه يساوي 225؟

ما العدد الذي مكعبه يساوي -343؟

أوجد الجذر التربيعي لـ (7 × 7).

أوجد الجذر التكعيبي لـ (5 × 5 × 5).

إذا كان x² = 49، فما قيمة x؟

إذا كان x³ = -8، فما قيمة x؟

√(x²) = ؟ (حالة عامة)

∛(x³) = ؟

احسب الجذر التربيعي لـ 2 وقربه لأقرب رقم عشري.

احسب الجذر التكعيبي لـ 10 وقربه لأقرب رقم عشري 

جهزت لك امتحان طويل ومتنوع على الجذر التربيعي والجذر التكعيبي، فيه أسئلة مباشرة، تطبيقية، ومسائل تفكير، علشان تراجع بعمق وتتحدى نفسك:

امتحان شامل على الجذر التربيعي والجذر التكعيبي

أولًا: اختر الإجابة الصحيحة

الجذر التربيعي لـ 144 هو:

أ) 11  ب) ±12  ج) 14  د) 10

الجذر التكعيبي لـ -27 هو:

أ) -3  ب) 3  ج) -9  د) غير معرف

الجذر التربيعي لعدد سالب في الأعداد الحقيقية:

أ) له قيمتان  ب) معرف  ج) غير معرف  د) يساوي صفر

∛1 = ؟

أ) 0  ب) 1  ج) ±1  د) غير معرف

ثانيًا: أكمل ما يلي

√81 = ............

∛-125 = ............

√0 = ............

العدد الذي إذا كُعب يعطي 8 هو ............

الجذر التربيعي لـ 225 = ............

الجذر التكعيبي لـ -1000 = ............

∛(x³) = ............

√(x²) = ............

ثالثًا: أوجد ناتج ما يلي

√196 =

√169 =

√100 =

∛64 =

∛-8 =

∛0 =

∛343 =

∛-1 =

√49 =

∛512 =

رابعًا: مسائل لفظية وتطبيقية

عدد إذا ربعته تحصل على 625، ما هو هذا العدد؟

ما العدد الذي مكعبه يساوي -216؟

مربع عدد يساوي 36، ما الجذر التربيعي له؟

إذا كان وزن صندوق مكعب الشكل يساوي 27 كجم، وكان الوزن موزعًا بالتساوي على الأبعاد الثلاثة، فما وزن كل بعد (جذر تكعيبي)؟

في تجربة علمية، تم قياس مساحة مربعة بـ 81 سم². ما طول ضلع المربع؟

خامسًا: قرب إلى أقرب رقم عشري (بالحاسبة)

√2 ≈ ؟

√5 ≈ ؟

∛2 ≈ ؟

∛10 ≈ ؟

√50 ≈ ؟

ملاحظة:

اكتب خطوات الحل إن أمكن.

راجع أجوبتك ولا تنسَ التحقق من صحة الإجابات باستخدام التربيع أو التكعيب.

 **امتحان طويل** 

ومتنوع على الجذر التربيعي والجذر التكعيبي، فيه أسئلة مباشرة، تطبيقية، ومسائل تفكير، علشان تراجع بعمق وتتحدى نفسك:

---

## **امتحان شامل على الجذر التربيعي والجذر التكعيبي**

### **أولًا: اختر الإجابة الصحيحة**

1. الجذر التربيعي لـ 144 هو:  

   أ) 11  ب) ±12  ج) 14  د) 10

2. الجذر التكعيبي لـ -27 هو:  

   أ) -3  ب) 3  ج) -9  د) غير معرف

3. الجذر التربيعي لعدد سالب في الأعداد الحقيقية:  

   أ) له قيمتان  ب) معرف  ج) غير معرف  د) يساوي صفر

4. ∛1 = ؟  

   أ) 0  ب) 1  ج) ±1  د) غير معرف

---

### **ثانيًا: أكمل ما يلي**

1. √81 = ............  

2. ∛-125 = ............  

3. √0 = ............  

4. العدد الذي إذا كُعب يعطي 8 هو ............  

5. الجذر التربيعي لـ 225 = ............  

6. الجذر التكعيبي لـ -1000 = ............  

7. ∛(x³) = ............  

8. √(x²) = ............

---

### **ثالثًا: أوجد ناتج ما يلي**

1. √196 =  

2. √169 =  

3. √100 =  

4. ∛64 =  

5. ∛-8 =  

6. ∛0 =  

7. ∛343 =  

8. ∛-1 =  

9. √49 =  

10. ∛512 =  

---

### **رابعًا: مسائل لفظية وتطبيقية**

1. عدد إذا ربعته تحصل على 625، ما هو هذا العدد؟  

2. ما العدد الذي مكعبه يساوي -216؟  

3. مربع عدد يساوي 36، ما الجذر التربيعي له؟  

4. إذا كان وزن صندوق مكعب الشكل يساوي 27 كجم، وكان الوزن موزعًا بالتساوي على الأبعاد الثلاثة، فما وزن كل بعد (جذر تكعيبي)؟  

5. في تجربة علمية، تم قياس مساحة مربعة بـ 81 سم². ما طول ضلع المربع؟

---

### **خامسًا: قرب إلى أقرب رقم عشري (بالحاسبة)**

1. √2 ≈ ؟  

2. √5 ≈ ؟  

3. ∛2 ≈ ؟  

4. ∛10 ≈ ؟  

5. √50 ≈ ؟

---

**ملاحظة:**  

- اكتب خطوات الحل إن أمكن.  

فيسبوك تويتر واتساب